Fungsi Bessel, yang dinamai dari Friedrich Bessel yang pertama kali mempelajarinya secara sistematis pada tahun 1824, adalah solusi kanonik y(x) dari persamaan diferensial Bessel:
untuk bilangan kompleks arbitrer α, yang mewakili orde fungsi Bessel. Meskipun α dan −α menghasilkan persamaan diferensial yang sama, secara konvensional fungsi Bessel yang berbeda didefinisikan untuk kedua nilai ini sedemikian rupa sehingga fungsi Bessel sebagian besar merupakan fungsi yang mulus dari α.
Kasus yang paling penting adalah ketika α adalah bilangan bulat atau setengah bilangan bulat. Fungsi Bessel untuk bilangan bulat α juga dikenal sebagai fungsi silinder atau harmonik silinder karena muncul dalam solusi persamaan Laplace dalam koordinat silinder. Fungsi Bessel sferis dengan setengah bilangan bulat α diperoleh ketika memecahkan persamaan Helmholtz dalam koordinat sferis.
Persamaan Bessel muncul ketika mencari solusi terpisah untuk persamaan Laplace dan persamaan Helmholtz dalam koordinat silinder atau sferis. Fungsi Bessel sangat penting untuk banyak masalah propagasi gelombang dan potensi statis. Dalam memecahkan masalah dalam sistem koordinat silinder, diperoleh fungsi Bessel orde bilangan bulat (α = n); dalam masalah sferis, diperoleh orde setengah bilangan bulat (α = n + 1/2). Contohnya:
- Gelombang elektromagnetik dalam waveguide silinder
- Amplitudo tekanan aliran rotasi inviscid
- Konduksi panas dalam objek silinder
- Mode getaran membran akustik melingkar atau annular tipis (seperti kepala drum atau membranofon lainnya) atau pelat yang lebih tebal seperti lembaran logam (lihat teori pelat Kirchhoff–Love, teori pelat Mindlin–Reissner)
- Masalah difusi pada kisi
- Solusi untuk persamaan Schrödinger radial (dalam koordinat sferis dan silinder) untuk partikel bebas
- Representasi ruang posisi dari propagator Feynman dalam teori medan kuantum
- Memecahkan pola radiasi akustik
- Gesekan yang bergantung pada frekuensi dalam pipa melingkar
- Dinamika benda mengambang
- Resolusi sudut
- Difraksi dari objek heliks, termasuk DNA
- Fungsi kepadatan probabilitas produk dari dua variabel acak yang didistribusikan secara normal
- Menganalisis gelombang permukaan yang dihasilkan oleh mikrotremor, dalam geofisika dan seismologi.
Fungsi Bessel juga muncul dalam masalah lain, seperti pemrosesan sinyal (misalnya, lihat FM audio synthesis, Kaiser window, atau Bessel filter). Karena ini adalah persamaan diferensial linear, solusi dapat diskalakan ke amplitudo apa pun. Amplitudo yang dipilih untuk fungsi berasal dari pekerjaan awal di mana fungsi muncul sebagai solusi untuk integral tertentu daripada solusi untuk persamaan diferensial. Karena persamaan diferensial adalah orde kedua, harus ada dua solusi yang bebas linear: satu dari jenis pertama dan satu dari jenis kedua. Namun, tergantung pada keadaannya, berbagai formulasi solusi ini nyaman. Variasi yang berbeda dirangkum dalam tabel di bawah ini dan dijelaskan di bagian berikut. Subskrip n biasanya digunakan sebagai pengganti α ketika α diketahui sebagai bilangan bulat.
| Tipe | Jenis Pertama | Jenis Kedua |
| Fungsi Bessel | Jα | Yα |
| Fungsi Bessel yang Dimodifikasi | Iα | Kα |
| Fungsi Hankel | H(1)α = Jα + iYα | H(2)α = Jα − iYα |
| Fungsi Bessel Sferis | jn | yn |
| Fungsi Bessel Sferis yang Dimodifikasi | in | kn |
| Fungsi Hankel Sferis | h(1)n = jn + iyn | h(2)n = jn − iyn |
Fungsi Bessel jenis kedua dan fungsi Bessel sferis jenis kedua terkadang dilambangkan dengan Nn dan nn, bukan Yn dan yn.